高中物理 · 高一通关 第 04 讲

       匀变速直线运动：四个公式怎么选不用试公式，看"缺什么"就能定     

安庆本地考生专用 · 人教版必修第一册 第二章 第 2–3 节

这一讲解决什么：匀变速的公式不止一个，孩子做题最常干的事是"挨个试，哪个算得出来用哪个"。这一讲给一条判断规则——看题目"没有给"哪个量，那个量就决定了用哪个公式。     

       读完你就能：拿到一道匀变速题，10 秒内定下用哪个公式，而不是试三个。     

先做一道题，看看孩子现在在哪一档

一辆汽车以 10 m/s 行驶，刹车后匀减速，5 s 内前进 25 m。求刹车过程的加速度。

· 说"不知道用哪个公式" → 这正是本篇要解决的，看第三节 3.3

· 会做但要试两个公式 → 思路对、效率不高，看第三节 3.3 的"缺哪个量"判断法

· 一眼看出用 x = v₀t + ½at² → 很好，直接跳到第五节例题，用比例式题检验

全篇约 8400 字，读完约 17 分钟。建议顺序：先自测 → 看 3.3（选公式）→ 做例题 → 存速查表。中途想退出，请至少看完 3.3 和第四节速查表，这两处最实用。     

上一讲把"加速度"讲通了。加速度一旦会判断，匀变速运动就能算——但新的问题马上来了：公式太多了。

很多孩子做这类题时的状态是：看看题目，想想，试一个公式，算不出来，换一个公式，还是不对，最后运气好撞上一个。这个过程要花五到十分钟，而且心里没底。问题不在算，在选择。

这一讲的丢分集中在三个地方——下面这三条，你可以直接拿去问孩子：

三个问题，孩子能脱口答对几道？这一讲会把选公式的规则、比例式的来历都拆开讲——不是多背几个公式，是让做题从"试"变成"选"。

匀变速直线运动是整个高中运动学的主干，也是第一次出现"一道题可能有三条路可走"的地方。选路的能力，比算得准更重要：

很多孩子把四个公式当成"四件工具"，随手挑一件用。其实它们的分工非常清楚——每个公式里都"少"一个量，少的那个，就是它的专属用途：

看出规律了吗？四个公式各缺一个量：缺 x、缺 v、缺 t、缺 a。这就是选公式的全部秘密——题目里没出现（也不问）的那个量，就是你要用的公式。

也就是说，选公式不是"试哪个能算出来"，而是"看题目缺哪个"。这个判断只需 10 秒，下面第三节详细展开。

四个公式不用"背"，因为它们是推出来的。搞清来历，记不住时可以现场推。

匀变速运动的起点只有两句话：速度均匀变大（v = v₀ + at），位移等于平均速度乘时间（x = 平均速度 × t）。

顺便解释一件事：为什么 x = (v₀+v)/2 · t 是对的？因为匀变速运动中，速度是均匀变化的，所以全程的平均速度正好等于初末速度的平均值。

除了四个基本公式，还有三个"推论"。它们不是新公式，而是从基本公式推出来的快捷结论——考场上用它们能省不少时间。

另外提醒：三个推论里，比例式只在"初速度为零"时适用。如果初速度不为零，比例式全部作废，只能用基本公式硬算。这是最常见的误用。

这是整讲最核心的一节。前面说过四个公式各缺一个量，这里把判断流程串起来——三步，10 秒内定下用哪个：

用这张对照表，一步到位：

再补一个更省事的做法：题意含图像时，优先用图像。

v-t 图里，斜率是 a、面积是 x。很多需要三个公式才能算出来的题，画一张图、算一块三角形面积就出来了。画图不算"多用功"，它是替代计算的捷径。

顺带说一句：选公式不是必须一步到位。复杂的题（比如多过程、追及相遇）本来就要用两个以上的公式接力。选公式的目标是"先算出一个量"，再用这个量去算下一个——所以每一步都问"我现在缺什么"就够了。

比例式是这一章最"爽"的工具——会用的孩子 5 秒做完一道选择题，不会用的孩子列两个方程算三分钟。但它的适用条件非常严格，先说条件再说用法。

满足条件时，三组比例直接拿来用：

举个具体例子，看清这三个比例的关系。设 a = 2 m/s²，从静止开始：

这也是本讲的一个做题技巧：忘了比例，就代一组数字验算。物理公式记不牢时，"代数字"永远比"干想"可靠。

到这里，回到开头那三个问题，现在能答了吗？

问一　没给时间 t 但有位移 x，用哪个公式？→ 答：v² − v₀² = 2ax。缺 t 就用它。（3.3 节第三行）

问二　"第 3 秒内的位移"和"前 3 秒的位移"是同一个数吗？→ 答：不是。"前 3 秒"是累计位移（1:4:9 那一行），"第 3 秒内"是单段位移（1:3:5 那一行）。（3.4 节）

问三　初速为零时，第 1、2、3 秒各走的距离是什么比例？→ 答：1 : 3 : 5（连续奇数）。累计则是 1 : 4 : 9。（3.4 节）

       三个都答对了 → 可以直接跳到第五节例题，用比例题检验一遍。还有卡壳的 → 建议先别往下，回到 3.3 那张"缺哪个量"对照表再看一遍。     

前 4 道给完整过程，后 2 道只给思路，写完对照本讲第六节。

【例 1】一辆汽车以 10 m/s 行驶，刹车后匀减速，5 s 内前进 25 m。求刹车过程的加速度。

解析：第一步，定正方向。规定初速度方向为正，则 v₀ = +10 m/s，x = +25 m。第二步，列已知与所求。已知：v₀ = 10 m/s，t = 5 s，x = 25 m；所求：a。第三步，找缺的量。五个量里，v（末速度）既没给也不问——缺 v，用第 2 个公式。第四步，代入。x = v₀t + ½at²25 = 10 × 5 + ½ × a × 5²25 = 50 + 12.5a12.5a = −25a = −2 m/s²负号说明加速度方向与初速度方向相反（也就是向后的减速效果），大小 2 m/s²。关键点：这道题的"卡点"不是算，而是一开始就要看出"缺 v"。如果按"先求末速度"的思路走，会绕一大圈——而末速度其实根本不是必须的。

【例 2】某物体做匀加速直线运动，初速度 4 m/s，加速度 2 m/s²。求它前进 21 m 后的速度。

解析：第一步，定正方向。规定运动方向为正，v₀ = +4 m/s，a = +2 m/s²，x = +21 m。第二步，找缺的量。已知 v₀、a、x，所求 v。五个量里，t（时间）既没给也不问——缺 t，用第 3 个公式。第三步，代入。v² − v₀² = 2axv² − 4² = 2 × 2 × 21v² − 16 = 84v² = 100v = +10 m/s（取正号，因为物体沿正方向运动）关键点：① 这道题完全不需要求时间，用 v² − v₀² = 2ax 一步到底；② 开方后有两个解（±10），要根据运动方向取舍——本题物体沿正方向运动，所以取 +10 m/s。这一取舍常被忽略。

【例 3】某物体做匀减速直线运动，初速度 6 m/s，加速度大小 2 m/s²，直到停止。求它通过的总距离。

解析：第一步，定正方向。规定初速度方向为正：v₀ = +6 m/s，a = −2 m/s²。第二步，找缺的量。已知 v₀、a、v = 0（停止），所求 x。缺 t，用第 3 个公式。第三步，代入。v² − v₀² = 2ax0² − 6² = 2 × (−2) × x−36 = −4xx = 9 m关键点："直到停止"这句话直接告诉我们 v = 0，这是本题的关键信息——很多孩子读题时会把"停止"当废话，其实它给了一个必须用上的条件。另外，本题如果先算"停止需要多久"（t = 6 ÷ 2 = 3 s）再代入第 2 个公式，也能算出 9 m，但要多一步。缺 t 就用第 3 个公式，这是最省事的路径。

【例 4】某质点从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 4 m/s²。求：(1) 第 1 秒内、第 2 秒内、第 3 秒内通过的位移之比；(2) 前 1 秒、前 2 秒、前 3 秒的位移之比。

解析：题目满足比例式的两个条件：初速度为零（从静止开始）＋时间间隔相等（每秒为一段）。可以直接用结论。(1) 第 1 秒内、第 2 秒内、第 3 秒内的位移之比：用"分段距离"比例 1 : 3 : 5。(2) 前 1 秒、前 2 秒、前 3 秒的位移之比：用"累计位移"比例 1 : 4 : 9。验算一下（用 a = 4 m/s² 实际算）：· 前 1 s：x = ½ × 4 × 1² = 2 m· 前 2 s：x = ½ × 4 × 2² = 8 m· 前 3 s：x = ½ × 4 × 3² = 18 m→ 累计比 2 : 8 : 18 = 1 : 4 : 9 ✔→ 分段距离 2、8−2=6、18−8=10 → 比 2 : 6 : 10 = 1 : 3 : 5 ✔关键点：① "第 n 秒内"用 1:3:5，"前 n 秒"用 1:4:9，这两个问法只差一个字，答案完全不同，是这一章最经典的陷阱；② 比例式与加速度的具体数值无关——取 a = 4 或 a = 2，比例都是同一个。

【例 5】（思路）有同学总结说："做匀变速题，就找题目里没给的量——没给时间就用第 3 个公式。"请判断这个方法对不对，并指出它在什么情况下会出错。（提示：想想"没给时间"和"不问时间"是不是一回事。如果题目没直接给时间，但要求你先求时间，还能直接用第 3 个公式吗？另外还有"刹车陷阱"要一起考虑。答案在第六节）

【例 6】（思路）一辆汽车以 20 m/s 匀速行驶，发现前方有障碍后刹车，加速度大小为 4 m/s²。求刹车后 8 s 内的位移。（提示：上一讲留过一个"刹车时间检验"的方法——先算减速到 0 用多久，再看题目给的时间是否更长。这道题如果直接代入 8 s，会算出什么？合不合理？答案在第六节）

例 5 解析：

结论：方法的大方向是对的，但说法不严谨，有两个地方会出错。问题一：把"没给时间"和"不问时间"混了。正确判据是——题目既没给时间、也不问时间，才用 v² − v₀² = 2ax。如果题目不直接给时间，但最终要求一个和时间有关的量（比如"求 3 s 内的位移"），那就不能跳过时间。虽然可以先用第 3 个公式求出中间量，但整个过程仍然绕不开 t。更准确的表述是："题目里的已知和所求都不涉及 t时，用第 3 个公式。"问题二：漏掉了"刹车陷阱"。这是更严重的一处。即使题目给了时间、求位移，也不能直接代入——必须先做"刹车时间检验"：· 先算物体减速到 0 需要多长时间；· 如果这个时间小于题目给的时间，说明物体在中途就停了，实际运动时间要取"减速到 0 的那个时间"。如果漏了这一步，就会算出"车停下了还能往后退"的荒谬结果（例 6 会具体演示）。关键点（这道题真正的价值）：选公式的规则本身没有问题，但它是"选对公式"的必要条件，不是充分条件。选对公式之后，还要检查两件事：① 这个物理过程是否一直持续到题目给的时间（刹车检验）；② 结果是否物理上合理。很多孩子公式用对了却还是错，就是漏了这两步检查。     

例 6 解析：

第一步，先算"减速到 0 用多久"（刹车时间检验）。取初速度方向为正：v₀ = 20 m/s，a = −4 m/s²。减速到 0 用时 t₀ = (0 − 20) ÷ (−4) = 5 s第二步，判断 8 s 里实际运动了多久。t₀ = 5 s < 8 s，所以汽车在 5 s 末就已经停下了，第 6、7、8 秒是静止的。因此 8 s 内的位移 = 5 s 内的位移。第三步，算这 5 s 的位移。方法 A（用第 3 个公式，最快）：v² − v₀² = 2ax0² − 20² = 2 × (−4) × x−400 = −8xx = 50 m方法 B（用第 2 个公式）：x = v₀t + ½at² = 20 × 5 + ½ × (−4) × 5² = 100 − 50 = 50 m ✔（两种方法结果一致）第四步，反过来看：如果直接代入 8 s 会怎样？x = 20 × 8 + ½ × (−4) × 8² = 160 − 128 = 32 m32 m 竟然比 5 s 的 50 m 还小——等于说车停下之后又"倒回去"了 18 m。这显然不合理。关键点（这道题真正的价值）：· 刹车类题目，动笔前必须先算"减速到 0 用多久"，这一步不能省；· 这道题还顺带说明了一个效率问题：一旦确认"5 s 就停了"，用第 3 个公式（缺 t 的那个）反而比用第 2 个公式更快——因为"停止"意味着 v = 0，是已知条件；· 而第 3 个公式里没有 t，所以能一步到位，不必先算时间再算位移。这正好印证了 3.3 节的选公式规则：缺 t 就用它。

1靠"试公式"而不是"选公式"。拿到题先把五个量列出来，看哪个没出现，10 秒就能定下来。试公式要多花三五分钟。

2把"没给时间"和"不问时间"混为一谈。判据是已知和所求都不涉及 t 时才用 v² − v₀² = 2ax。

3记混"第 n 秒内"和"前 n 秒"。前者是分段位移，比例 1:3:5；后者是累计位移，比例 1:4:9。只差一个字，答案完全不同。

4误用比例式。比例式要求初速度为零 + 等时间间隔，两个条件缺一不可。初速不为零时全部作废。

5刹车题不做时间检验。必须先算"减速到 0 用多久"，再看题目给的时间是否更长。否则会算出"车倒退"的荒谬结果。

6用 v² 公式开方后不取舍。开方会出现正负两个解，要根据物体实际运动方向选择，不能两个都写。

7忽略"直到停止""恰好停下"这类提示。这些词等于直接给了 v = 0，是重要已知条件，不是废话。

8不先定正方向就动笔。所有运动学题目第一步都是"规定××为正"。正方向不写，符号必乱。

1观察孩子做题是"选公式"还是"试公式"。这是这一讲最重要的一个动作。让孩子做题时把"我为什么选这个公式"说出来——说得清就是真懂，说不清就是在试。

2准备一张"缺哪个量"的小纸条。就是本讲第四节那张表。孩子做题时放在手边，两周就能形成条件反射，之后就不需要了。

3特别提醒"第 n 秒内"这类说法。这是这一章最容易丢分的地方。让孩子读题时把"第 3 秒内"和"前 3 秒"圈出来，逼自己每次都想一遍是哪个比例。

4这一讲是后面所有运动学题的底座。后面几讲（自由落体、上抛、追及相遇）全都是匀变速的变式。这一讲练熟了，后面会越学越顺；这一讲含糊，后面每一步都要重新学一遍。

匀变速直线运动这一章，公式只有四个，但它第一次要求孩子做选择。

选择本身就是一种能力。孩子以前做题是"一条路走到黑"，现在要学会先看看有哪几条路、哪条最近。这个能力一旦建立，后面两年学物理都会省力。

孩子的物理有问题，或者这一讲卡在哪儿了，直接发到后台，我尽量都回。

— 本讲作业 —

上面【例 5】【例 6】只给了思路，今天就让孩子各写一遍完整过程（例 5 要指出那个方法在两个地方会出错，并给出更准确的说法；例 6 要把"刹车时间检验"这一步单独写出来，并算一遍"直接代入 8 s"的错误结果做对比），写完翻到「六、例 5、例 6 完整解析」对照。写好拍下来发到后台，我逐份看。

— 下一讲预告 —

第 05 讲《自由落体与竖直上抛：把运动拆成两段》，讲最常见的一类多过程运动：物体先上升再下落，怎么分段处理。这一讲会用到上一讲留的伏笔——"减速只发生在速度还没减到零的这段过程里"。点上方「关注」，别错过。

— 高一物理通关 —

【高一物理通关】按人教版必修第一册、必修第二册共 12 个专题推进，从描述运动一路走到力学总复习。本讲是第 04 讲，前三讲已发布，后面还有 8 讲。

连载节奏：每周四、周日各更新一讲，跟着走就不会漏。