田口正交表怎么选?L8、L9、L16和L27的适用场景

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做田口试验时，很多人习惯先数因子：7个因子用L8，10个因子用L16，三水平因子就用L9或L27。

这种选法看似直接，却忽略了一个关键问题：正交表不是用来装因子的表格，而是试验信息的分配工具。除了因子数量，还要考虑每个因子有几个水平、哪些交互作用必须分析，以及是否需要保留误差自由度。

如果选表过小，虽然试验次数减少了，主效应、交互作用和误差却可能混在一起，最终无法判断差异来自因子本身，还是来自随机波动。

因此，选择正交表的核心不是哪张表能够放下这些因子，而是哪张表能够为计划分析的效应提供足够且可分离的信息？

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一、先看懂正交表代号

常见的L8、L9、L16和L27中，字母L表示正交表，后面的数字表示基础试验行数。

例如，L8表示基础设计包含8次运行，L27则表示包含27次运行。但仅看这个数字，还不能确定正交表的水平结构。

完整代号通常写成：

L8（2⁷）表示这张表有7个两水平列；L9（3⁴）表示有4个三水平列；L16（4⁵）则表示有5个四水平列。

同一个“L”代号，还可能对应不同结构。例如，L8除了常见的L8（2⁷），还可能有L8（2⁴4¹）这样的混合水平表，即4个两水平列和1个四水平列。

不同结构的列关系不同，交互作用的分配方法也不同。因此，选表时不能只说“用L8”或“用L16”，还要确认完整的水平结构。

正交表中的“正交”，主要表示各水平组合均衡出现，使已分配的效应能够在一定模型假设下独立估计。它并不意味着所有主效应和交互作用都能自动分开。

理解表的结构之后，下一步才是判断它能否承载计划分析的内容，而这个判断要靠自由度。

二、用自由度计算容量

可以把自由度理解为分析一个效应所需要占用的“信息容量”。

一个因子的自由度为：因子自由度＝水平数－1

因此：

• 两水平因子占1个自由度；
• 三水平因子占2个自由度；
• 四水平因子占3个自由度。

两个因子的交互作用自由度为：交互作用自由度＝因子A自由度×因子B自由度

例如：

• 两个两水平因子的交互作用占1个自由度；
• 两个三水平因子的交互作用占4个自由度；
• 两水平因子与三水平因子的交互作用占2个自由度。

正交表能够提供的总自由度为：总自由度＝基础运行数－1

因此，选表时至少应满足：正交表总自由度 ≥ 主效应自由度＋交互作用自由度＋计划保留的残差自由度

如果模型自由度刚好用完，这个设计就是饱和设计。饱和设计可以估计已经分配的效应，却没有剩余自由度估计模型残差。一旦存在未考虑的交互作用、过程漂移或异常波动，就很难区分它们与试验因子效应。

未分配自由度可以用于估计模型残差，但前提是有理由认为被忽略的效应足够小。它并不自动等于纯误差。要估计真正的纯误差，通常还需要在相同试验条件下进行独立重复运行。

掌握这套“信息预算”后，再看L8、L9、L16和L27的区别就会清晰很多。

三、L8用于两水平筛选

L8（2⁷）有8次基础运行和7个总自由度，主要适合两水平因子的初步筛选。

如果只分析主效应，理论上最多可以安排7个两水平因子。但此时7个自由度全部用完，设计已经饱和，没有空间估计残差，也无法单独分析交互作用。

假设试验研究5个两水平因子，并计划分析A×B和A×C两个交互作用：

• 5个主效应占5个自由度；
• 2个交互作用各占1个自由度；
• 合计占7个自由度。

从总量看，L8刚好够用，但仍然没有残差自由度。如果过程波动较大，或者还存在其他未考虑的交互作用，分析结果就可能不稳定。此时更合理的做法通常是升级到L16，或安排适当的独立重复。

L8中的交互作用也不能随意放置，必须根据这张表对应的线性图或交互作用表分配。以常见L8（2⁷）为例，第1列与第2列的交互作用落在第3列。如果第3列又安排了另一个主效应，这个主效应就会与A×B发生混杂。

因此，L8更适合以下场景：

• 因子均为两水平；
• 试验处于早期筛选阶段；
• 主要目标是识别重要主效应；
• 只关注少量、事先明确的关键交互作用；
• 暂时不研究响应曲率。

如果两水平因子较多，或者需要同时分析多个交互作用，L8的容量通常就不够了，这时应考虑L16。

四、L9用于三水平主效应

L9（3⁴）有9次基础运行和8个总自由度。每个三水平因子需要2个自由度，因此4个三水平因子的主效应正好用完全部8个自由度。

三水平设计比两水平设计多了一个中间状态，不仅可以比较低水平和高水平，还能初步观察响应是否存在弯曲趋势。

对于温度、压力、时间等具有明确数值顺序的定量因子，如果三个水平间距合理，其2个自由度可以进一步分解为线性趋势和二次趋势。这样不仅能看出响应总体上升还是下降，还能判断中间水平是否明显偏离直线趋势。

但这种解释只适用于具有数值意义的定量因子。材料A、B、C，供应商甲、乙、丙等类别型因子虽然也有三个水平，却不存在天然的线性趋势和二次趋势。

L9最大的限制是交互作用空间不足。两个三水平因子的交互作用需要4个自由度。如果4个三水平因子的主效应已经全部放入L9，就没有剩余自由度估计交互作用和残差。

因此，L9更适合：

• 3～4个三水平因子；
• 主要研究主效应；
• 预计交互作用较弱或可以忽略；
• 希望初步识别定量因子的非线性趋势；
• 单次试验成本较高，需要控制运行数。

如果工程机理已经表明某些三水平因子之间存在重要交互作用，就不应为了把试验压缩到9次而强行使用L9，而应考虑容量更大的L27。

五、L16用于复杂两水平设计

L16常见的结构是L16（2¹⁵），包含16次基础运行和15个总自由度。与L8相比，它最大的优势并不是简单地多放几个因子，而是可以在安排主效应后，为关键交互作用和残差留下更多空间。

例如，某试验研究6个两水平因子，并计划分析3个关键交互作用：

• 6个主效应占6个自由度；
• 3个交互作用占3个自由度；
• 共占9个自由度；
• 还剩6个自由度，可用于其他效应或模型残差。

这类设计通常比把L8全部塞满更可靠，也更便于判断试验差异是否超过了随机波动。

L16还可能采用L16（4⁵）等结构。一个四水平因子需要3个自由度，不能简单拆成两个彼此独立的两水平因子。在特定正交编码中，四水平因子可以通过三个正交对比列表示，也可以利用两个伪因子及其乘积列构造，但这些列必须作为一个整体解释，不能把伪因子当成三个真实工艺参数。

因此，L16通常适合：

• 两水平因子数量较多；
• 需要分析若干关键交互作用；
• 希望保留一定残差自由度；
• L8容量不足，而更大设计的成本又难以接受。

需要注意的是，不同L16结构的列数和水平数并不相同。正式分配因子前，仍要核对具体表型、线性图和交互作用表。

六、L27用于复杂三水平设计

L27（3¹³）有27次基础运行和26个总自由度，适合三水平因子较多、关键交互作用不能忽略，或者需要更充分研究非线性趋势的试验。

假设某工艺研究4个三水平因子，并且必须分析A×B交互作用：

• 4个主效应占8个自由度；
• A×B交互作用占4个自由度；
• 合计需要12个自由度。

L9只有8个总自由度，显然无法容纳；L27则能在安排这些效应后，继续保留其他分析空间。

不过，L27列数较多，并不意味着因子和交互作用可以随意摆放。三水平交互作用占用的自由度较多，必须按照对应的交互作用表安排列组，否则主效应与交互作用仍可能混杂。

L27更适合：

• 多个三水平定量因子；
• 需要研究一个或多个关键交互作用；
• 希望分析非线性趋势；
• 对结果可靠性要求较高的参数优化；
• 稳健参数设计中的内表试验。

此外，正交表行数不一定等于最终工作量。在稳健设计中，如果L27作为内表，外表设置4种噪声组合，每种条件再独立重复2次，那么实际运行数为：27×4×2＝216次

外表中的噪声组合属于有计划的试验条件，不等于重复试验。同一件样品连续测量多次，也只能反映测量或取样变异，不能代替重新生产、重新装夹或重新实施的独立运行。

因此，选择L27前必须同时评估设备时间、材料消耗、测量能力和试验周期，而不能只看“27行”。

七、按六步完成选表

经过前面的比较可以看出，L8与L16主要解决两水平设计的容量问题，L9与L27主要解决三水平设计的容量问题。真正选表时，可以按照以下顺序推进。

第一步：明确目标

先确定试验是为了筛选重要因子、优化参数，还是提高产品对噪声的稳健性。目标不同，需要估计的效应也不同。

第二步：确定水平

列出每个因子是两水平、三水平还是四水平，同时区分定量因子与类别型因子。不要为了套用某张正交表，随意删减具有工程意义的水平。

第三步：识别交互

根据产品机理、历史经验和预试验结果，提前确定必须分析的交互作用。不能等试验完成后，再临时决定想看哪些交互作用。

第四步：计算自由度

计算全部主效应、关键交互作用和其他模型项所需的自由度，并考虑是否需要保留残差自由度或安排独立重复。

第五步：核对表型

不仅要决定使用L8、L9、L16还是L27，还要核对完整的水平结构、线性图和交互作用表。混合水平表不能直接套用纯两水平表的列关系。

第六步：核算工作量

基础行数只是内表的运行数。加入噪声组合、区组、独立重复和确认试验后，应重新计算总运行数，确认现场资源能够承受。

四类常用正交表可以概括为：

正交表选得过大，会增加不必要的试验成本；选得过小，则可能让主效应、交互作用和误差相互混杂。真正合理的选表顺序应当是：先明确要研究哪些效应，再计算需要多少自由度，最后选择能够承载这些信息的正交表。

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