谁是最接近整数的无理数?一份近整数质量排行榜

很久以前，我写过一篇关于近整数（almost integer）的科普文章^[1]，其中我也提到了我最喜欢的近整数：

文章发表后，反响不错，但也有读者反馈称：近整数不稀奇，可以用程序找到一大堆，比如：

但我们能明显感觉到以上这种近整数与  的区别：后者质量更高，更具美感。所以我就考虑找出一种可以衡量近整数质量的定量标准。

首先，近整数必须是个无理数。其次，我们可以确信两点：

1. 近整数越接近整数，也就是小数点后的0或9越多，其质量越高。这个指标是可以直接计算的。

2. 近整数越“简单”，其质量越高；越“复杂”，其质量越低。

问题就变成了：如何衡量一个近整数的简单或复杂程度？当然，表示一个近整数所需的字符越多，肯定就越复杂。但同样一个字符，0和  的复杂程度是有很大不同的。所以，纯粹以字符多少衡量一个近整数的复杂度并不合理。

幸好已经有人做了类似的事，那就是ries^[2]。 ries是一个根据一个数的小数形式，寻找其最可能的表达式的工具，比如对2026.0923这个小数：

./ries 2026.0923   Your target value: T = 2026.0923                              mrob.com/ries                    x/5 = e^6                    for x = T - 8.94833     {68}                    4 x = e^9                    for x = T - 0.321318    {67}              sqrt(x-1) = 5*9                    for x = T - 0.0923      {79}                  4 x-1 = e^9                    for x = T - 0.0713181   {82}                  9^2/x = atan2(1,5^2)           for x = T - 0.0127604   {100}           (log_3(x))+e = sqrt(e)+8              for x = T + 0.00343544  {107}       1/(log_3(ln(x))) = sqrt(1-1/sqrt(2))      for x = T - 0.00019062  {112}                ln(x/8) = 3^tanpi(1/pi)          for x = T + 4.47414e-05 {110}      (log_pi(x))+1/phi = tanpi(1/e)+5           for x = T + 2.83762e-05 {127}              x-(5*9)^2 = e^(1/(7 phi))          for x = T + 5.46692e-06 {129}                  (for more results, use the option '-l3')  atan2(y,x) = Angle of ray from origin through point (y,x)  pi = 3.14159...  log_A(B) = logarithm to base A of B = ln(B) / ln(A)  tanpi(X) = tan(pi * x)  e = base of natural logarithms, 2.71828...  sqrt(x) = square root  ln(x) = natural logarithm or log base e  phi = the golden ratio, (1+sqrt(5))/2                         --LHS--      --RHS--      -Total-     max complexity:          69           61          130          dead-ends:     3317929      4577545      7895474  Time: 0.124        expressions:      171193       298455       469648           distinct:       83322       100371       183693  Memory: 12928KiB        Total equations tested:              8363112462 (8.363e+09)

其中输出的第一行是：

x/5 = e^6                    for x = T - 8.94833     {68}

它的意思就是：，后面的"{68}"就是以上等式左右两边表达式的复杂度，取较高复杂度的一边。它的复杂度计算规则大致如下：

将表达式写成后缀形式，复杂度是每个符号权重之和，权重 = 基数 10 + 符号的个别权重。基数保证每个符号权重为正，搜索才能按复杂度递增终止；它同时让 complexity/10 近似于描述整个表达式所需的十进制位数。

权重表大致如下：

后缀表达式的意思就是运算数字在前，运算符号在后，这样就不需要任何括号。

比如对数字10，先要拆成后缀表达式：2 5 *，其对应的复杂度就是：。一个数字可能有多种后缀表达式写法，所以还需要设法找出其中复杂度最低的一种。

以上这种复杂度计算方式的原理在于，其能使表达式的复杂度近似等于其信息量。可以想象在所有数学论文中，出现频率最高的字符，都是很简单的，其信息量也最低，比如0、1、+、 等。而出现频率越低的符号，其也越复杂，包含的信息也越多。

以上方法可以使表达式的复杂度自然地与其出现频率成反比，同时也贴近其信息量。ries的这个复杂度度量方法非常有效，但用在近整数上，还需要做点改进。需要改进的地方就是要杜绝近整数问题上的两种“作弊”方法。

一种作弊方法是对非常接近  的值进行三角函数运算。比如  是  的一个非常好的近似，则 、 自然会是好的近整数。如果再嵌套几重，就可以以非常小的复杂度代价获得非常好的近整数，比如：

我们需要排除这种情况。目前采取的手段是：如果一个表达式的形式是 ，且内部的值非常接近 ，则会将这个近整数视为  的形式。如果有嵌套，也会继续剥离外层，取核心。如此操作，足够使这种作弊手段实效。

另一种作弊情形就是皮索特数^[3](Pisot Number)的幂次。皮索特数的定义是：大于1的实代数整数，且其所有共轭的绝对值均小于1。这种数的幂次天然具有越来越接近整数的效果。最为人熟知的一个皮索特数就是黄金分割比：，可以计算验证：

所以皮索特数也是一种以较低复杂度获取高精度近整数的“作弊”手段，排行榜上已完全排除这种数字类型。

综上所述，我最终选择的近整数质量度量方法是：

其中：

n是该近整数小数点后连续的0或9的数量，确切算法是：。 为与x最接近的整数。

complexity为按以上ries算法计算出的复杂度。

surplus的意思是“盈余”。因为  实际上决定了一个表达式平均可以接近整数的程度，那么  就是比平均情况多出的“盈余”。这个值越大，我们就认为这个近整数质量越高。

我让AI把市面上常见近整数按以上方法进行了一次质量排名，放在这个网站^[4]上。前10名是：

可以看到，这个排名结果与我个人的直觉是很接近的。其中  排在第二，但第一名其实就是第二名的变体，本质上是同一个。也可以看出，有时需要考虑相对精度和绝对精度的区别，但这样有点太复杂了，所以没有搞。

这次的研究带给我几个发现：

前4名的近整数都是  的形式，它们成为近整数是有数学原理^[5]的，所以质量自然很高。而  是拉马努金发现的，其原理至今仍是个未解之谜。

用计算机暴力搜索出的近整数，一般来说surplus值在-5到-6之间。所以，如果你找到一个网站上没有的，且surplus值大于-4的近整数，欢迎你告诉我，我会更新到网站上。我的网站也提供了一个surplus计算器^[6]。

之前我看到知乎知名作者王赟关于乱排常数^[7]（我更想叫它“插队常数”）的系列文章，其中提到了一个近整数：

我曾经很想找出这个数字成为近整数的原理，AI也好几次给出了让我感觉非常像那么回事的答案，但最终我都发现了其中不靠谱的地方。我对以上数字做了质量计算，其surplus值仅为-5.46，只是平均水平。现在我相信这个数字成为近整数只是巧合。

之前还有网友告诉我，其发现了一个近整数：

其surplus值为-3.44，已经算相当高了。但AI发现了其来历：

它的来源也能看出来：126e^π + 8π⁴ = 6·(21e^π + 5π⁴) − 22π⁴，也就是把族内第二名放大 6 倍再减去 Ramanujan 的 22π⁴ ≈ 2143，两个近似的误差恰好相消。这是一个 3 项整数关系搜索（PSLQ 类型）的典型产物，指标把它归入平凡结果是恰当的。

不过我觉得说它是平凡结果有点过了，那两个近似的误差能正好抵消，也是很难得的巧合。

以上就是我关于近整数质量的研究和排名，希望你喜欢，也希望你发给我一些新的高质量近整数！

参考资料